Black-Scholes 公式假设（无股息）股票价格服从几何布朗运动。现在，假设你不知道股票价格服从的随机过程是什么，但是你知道在每一个（连续的）行权价上的看涨期权价格。如何通过该信息得到风险中性下股票价格在期权到期日时刻的概率密度？

如果我们知道的概率密度，我们可以通过求以下期望得到 call 的价格

这个问题中，我们需要反过来：知道期权价格，求概率密度

不妨将要求的概率密度称为“隐含概率密度”

我们将 call 的价格看作行权价的函数

调整一下公式，并将期望写成积分形式

其中为的概率密度函数

现在，我们希望求出，但是在积分表达式里面不好求，怎么办呢？

——我们可以通过求导来消除积分

等式两边对求导，得到

形式简化了一些，但还有积分，怎么办？——再求导

由于我们知道所有取值下对，我们也就知道了，从而也就知道了概率密度

以上求导用到了变限积分函数求导公式

在【量化面试题 37】凸性套利中

我们证明了 call 和 put 的价格是关于行权价的凸函数

本题的结论提供了另外一种证明思路

如果的概率密度为正，所以对任意的，有